易经、巴别塔、通用文字——莱布尼兹研究二进位之路│《电脑简史》数位时代（二）

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计算机在何乐礼手中首度接上了电，但电力只是用来驱动继电器进行计算，靠的是电磁铁的机械动作，而不是电流本身。因此何乐礼的自动制表机只能算是电力驱动的机械式计算机，仍然不是电子计算机。

计算机要蜕变为现代电脑，必须摆脱机械方式，改用电流本身来做计算。而要做到这一点，首先得放弃大家习以为常的十进位，改用二进位。

本文为系列文章，上一篇请见：人口普查、打孔卡片、IBM——第一台插电的计算机│《电脑简史》数位时代（一）

二进位早就有囉：易经八卦与培根的加密法

其实二进位的概念很早以前就有了。例如易经共有六十四卦，原本是用数字标记，但到了战国时代，易经与阴阳思想结合，卦象逐渐改用阴阳两种符号标记，最晚在东汉时期，就定型为目前所见的线条符号。

易经每一卦由六个「爻」相叠而成，而每一爻不是代表阳的一根长线「—」，就是代表阴的两根短线「- -」。前三爻构成「上卦」，后三爻构成「下卦」，上下各有八卦，合起来共有 8 x 8 = 64 种变化，便能只用阴阳两种符号标记六十四个卦象。

伏羲先天六十四卦（1701年白晋寄给莱布尼茨的图）。图：WIKI

虽然易经这套标记系统是二进位没错，但是与计算完全无关。正如英国哲学家培根 (Francis Bacon) 也曾为了解决通讯保密的问题——如何让往返前线的书信内容不为敌军所悉，而于 1605 年想出一套加密方式。他的 ... 是将每个英文字母改用五个 a 或 b 取代，例如 A=aaaaa、B=aaaab、C=aaaba。

这套规则其实完全吻合现代二进位的记法，a 相当于 0，b 相当于 1。但同样地，这只是书写系统，无关乎计算。率先从计算的角度思考二进位的人是与培根只差一岁，同样是英国学者的哈里厄特 (Thomas Harriot)。

不为人知的二进位运算首创者：哈里厄特

哈里厄特是位博学家，研究领域横跨数学、光学、天文学，乃至人类学，有许多重要发现都是他率先提出。例如他于 1602 年就在给克卜勒的信中，提到光学中的折射定律，比斯涅耳 (Willebrord Snellius) 还早二十年。1609 年 7 月，他画下望远镜所见的月球表面，比伽利略早了四个月。他还于 1610 年用望远镜观察到太阳黑子，三年之后伽利略才发表自己所绘的太阳黑子。然而哈里厄特大部分的论文都没有出版，手稿散落四处，因此直到近代，历史学家才得知这些光环原本应属于他。

二进位的计算方式也是其中之一。哈里厄特在 1610 年开始进行一连串的「计算实验」，用二进位、三进位、四进位、……等等不同方式做四则运算。在他的文稿中，就用 0 与 1 做为二进位制的符号，并且演示一般十进位的数字如何转换为二进位制，以及如何加减乘除。

然而由于他从未公开发表，这份文稿内容又直到 1951 年才被学者发掘公布，因此尽管他是首创二进位运算体系之人，却一直不为世人所知，这个光环才落在力推二进位制的莱布尼兹头上。

弹珠与凹洞：莱布尼兹的二进位计算器

莱布尼兹于 1695 年的肖像。图：WIKI

说起来，莱布尼兹提出二进位制也与计算器有关。

第十六章中提到莱布尼兹于 1672 年改良巴斯卡加法器， ... 出两位数乘除的计算器，但因结构问题无法扩充位数，直到二十年后发明步进滚筒，才终于完成真正实用的四则运算器。其实在发明步进滚筒之前，莱布尼兹曾经另辟蹊径，试图发明用二进位进行运算的机器。他在 1679 年留下的一篇手稿中，讨论用弹珠与凹洞代表二进位的数字，借由弹珠在凹洞间滚动来进行计算的可行性。

或许是 ... 上难以实现，莱布尼兹并未着手打造这部机器。他也没对外发表二进位制的想法，直到 1701 年才写成一篇论文提交「巴黎皇家科学院」（即法国科学院），却被秘书长以「看不出二进位有何用处」为由拒绝。

莱布尼兹研究范围广泛，原本不以为意，没想到两年后他收到一封来自中国的信，赫然发现易经六十四卦的符号，让他决定再度宣扬二进位制。而这封信的缘由，得从受到康熙皇帝重用的耶稣会传教士南怀仁 (Ferdinand Verbiest) 说起。

欲创通用文字，必先破解中文？

1678 年（康熙十七年），来到中国已十九年，位居清廷钦天监监正的南怀仁写信给欧洲教会，请求增派传教士来中国。当时法国在路易十四的统治下励精图治，已成欧陆的霸主，但是在亚洲的势力却远远不如荷兰、英国、葡萄牙等国。他得知南怀仁的请求后，认为这正是法国在东方扩展影响力的大好机会，于是在 1684 年选派一批耶稣会修士前往中国。

路易十四特地选任原本就有科学专长的传教士，好让他们能受康熙重用，并且让他们在出发前加入法国科学院。这批传教士带着科学仪器与书籍于 1688 年抵达北京，其中白晋 (Joachim Bouvet) 与张诚 (Jean-François Gerbillon) 两人被留在宫廷，为康熙讲授数学与天文历法。

1697 年，白晋以康熙特使的身分回到法国，希望招揽更多传教士前往中国。回到巴黎没几个月，有人送给白晋一本刚出版的《中国新事》(Novissima Sinica)，是由莱布尼兹根据白晋等人寄回法国发表的中国见闻编辑而成。

法国传教士白晋著清朝官服。图：WIKI

为什么莱布尼兹这么关心中国？原来他一心想要另创一套新的文字，可以在逻辑架构下，明确地陈述数学、科学，以及形上学的概念。而且这套文字必须像数学符号那样，无论是讲英文、法文或德文都能通用，因此必须是表意文字。

当时有一种说法是根据圣经《创世纪篇》中：「原本人类只说一种共同的语言，后来人们离开东方来到示拿地区，企图建造高可通天的巴别塔，上帝才打乱世人的语言，让众人分散到各地，彼此言语不通。」的记载，主张中文就是人类最初的共同语言。

莱布尼兹深受这个说法吸引，加上中国文字看起来又是表意文字，或许了解中文造字原则有助于发明他理想中的通用文字，因此他相当关注这些传教士从中国捎回来的第一手资料，还主动整理成册。

易经卦象当帮手，莱布尼兹再推二进位制

白晋读了莱布尼兹的《中国新事》后，立刻写信给他表示赞赏，从此两人展开书信往来，即使白晋于 1699 年返抵北京后仍未中断。

1701 年 2月，莱布尼兹写信给白晋讨论神学时，提到自己多年前发明的二进位制，从 0 与 1 就能产生所有数字，似乎与上帝凭空创造万物有异曲同工之妙。白晋一看马上联想到易经中的卦象也是由阴阳两种符号组成，于是在 1701 年 11 月回信给莱布尼兹，告诉他中国的伏羲早在远古时代就用二进位创造出六十四卦，并随信附上卦象的版画。

莱布尼兹于 1703 年 4 月收到这封信后，精神大振，立刻拿出两年前被拒绝的那篇论文重新修改。他在论文中演示如何用 0 与 1 的二进位制做加减乘除后，花了不少篇幅引用白晋所述，指出二进位制其来有自，四千多年前中国及其科学的创建者伏羲王，就用二进位的 ... 标志出蕴含中国哲学思想的六十四个卦象。

莱布尼兹还以图解说明八卦中的「- -」与「—」若改以 0 与 1 标记，恰恰依序就是数字 0 到 7 的二进位记法。莱布尼兹进一步指出，既然伏羲据称也是中文的发明者，那么他在造字时必定也有运用这种数字概念。若能破解中文的造字原则，也许就能创造出他理想中，放诸四法皆准的通用表意文字。

二进位制未见立竿之效，开花结果尚待两百余年

莱布尼兹于 1703 年所著之《论只使用符号0和1的二进位算术》。图：WIKI

这篇题为《论只使用符号 0 和 1 的二进位算术，兼论其用途及它赋予远古中国伏羲图的意义》(Explanation Of Binary Arithmetic, Which Uses Only The Characters 0 And 1, With Some Remarks On Its Usefulness, And On The Light It Throws On The Ancient Chinese Figures Of Fuxi) 终于在 1705 年出版的《1703 年皇家科学院年鉴》发表。

然而这篇论文并未引起大太的回响，因为二进位制在当时的确看不出有何用处，用来计算并不会比传统的十进位制方便，而想要借此创造什么通用表意文字又太遥不可及。还要再过两百多年，现代电脑的相关技术就绪后，人们才会发现二进位制的神奇妙用。

回头来看，莱布尼兹宛如预言未来的先知，只因受限于时代的技术隔阂，只能用当时的字句吐出类比的隐喻。他所设想的二进位计算机，正是现代的数位电脑，只不过象征数字的不是滚动的弹珠，而是流动的电子。他想像中的通用表意文字在某种程度上也算实现了，只不过并非由人类使用，而是全世界的电脑与各式电子产品间的通用语言；而且无需再另创文字，0 与 1 本身就是字母。

不过二进位制只是现代电脑的基本要件之一，在技术就绪之前，还差一块重要的拼图……。