千里共婵娟，苏东坡有没有太浮夸？《水调歌头》背后的天文运算

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当人身处在异地，因为有事在身而无法和亲朋好友共聚时，常以苏轼的《水调歌头．明月几时有》这首脍炙人口的诗歌的最后两句话：「但愿人长久，千里共婵娟」，做为互相勉励的话。

对于人们来说，一起看星星、看月亮，是一种充满情怀的浪漫事。（Pixabay）

然而，你是否有想过，苏轼到底有没有真的「千里」共婵娟呢？

古人在书写诗词时，数字的应用上，有时是指实际的数值，如：「一」枝独秀、「二」目无光、「三」餐不继、「四」肢无力等。

有时则是夸饰写法，如：「一」清「二」楚、「三」心「二」意、丢「三」落「四」、「七」嘴「八」舌等

要解决苏轼写的千里是实际的数字或是夸饰法，就需要先知道当时苏轼和苏辙两人相距的距离大约多少。

用网路地图算出两人的真实距离吧！

当时，苏轼被贬到密州（山东诸城），中秋节时在超然台上写下了这首词，借此思念远在齐州（今济南）的弟弟苏辙。

假设苏辙当时在山东省府，苏轼位在超然台，使用地图量测工具可以得到两地之间的直线距离大约为 226.59 公里。

图一：地图上超然台及山东省 ... 间的地理位置与两地间的距离（地图来源：Google地图）

宋代的「千里」是今天的多少公里呢？

由于现代的「公里」、古代的「里」并不一样，所以我们必须查阅历史文献，才可以知道要怎么换算这两个长度单位。

关于「里」的长度，虽然不同朝代也有不同的定义，但古代的里制，均是由步数、尺数和每尺长度三个要素所构成的长度单位。

根据文献研究指出（见表一），宋代时 360 步为一里，每步 5 尺，而当时的工程营造尺约等于 0.32 公尺，由此可知，宋代的一里大约是今日的 576 公尺。

一里是 576 公尺，那么苏轼所写的「千里」共婵娟，换算成今日的距离大约是 576 公里，比实际距离 226.59 公里还要远。

看来，此处的「千里」应该是苏轼夸大了两人的距离，想要借此凸显思弟之情。

表一：古代以及史家关于「里」的记载与研究。

古书 提及「里」的段落 朝代 说明 《穀梁传．宣公十五年》 古者三百步为里，名曰井田，井田九百亩 战国 1 里为 300 步 《韩诗外传》卷四 广三百步、长三百步为一里。 西汉 《汉书．食货志》 理民之道，地著为本。 故必建步立畮（通「亩」），正其经界。 六尺为步，步百为畮，畮百为夫，夫三为屋，屋三为井，井方一里，是为九夫 西汉 引入尺的概念，并论及与步、亩和里之间的关系 陈梦家《亩制与里制》 古代自秦以来，大致六尺为步，步三百为一里，很少改变……一直施行至隋代 秦至隋 里为 300 步的概念延续至隋代 魏徵《隋书．地理志》 《长安志》 东西十八里一百一十五步，南北十五里一百七十五步，周六十七里 唐 按陈梦家等人所考，其中采用的是1里360之制。 《夏侯阳算经》引《杂令》 诸度地以五尺为一步，三百六十步为一里。 唐 360 步为 1 里 《宋史·舆服志》 仁宗天圣五年（1027 年），内侍卢道隆上记里鼓车之制……以古法六尺为步，三百步为里，用较今法五尺为步，三百六十步为里 北宋 《太常因革礼》

《愧郯录》

《职官分纪》

古法六尺为步，三百步为里，今法五尺为步，三百六十步为里 北宋 秦九韶《数书九章》 「里法三百六十步」 「步法五尺」 南宋

（参考并整理自刘春迎〈从北宋东京外城的考古发现谈北宋时期的营造尺〉1, 2）

怎么约才算是一起赏「中秋明月」呢？

从 Google 地图得到的济南市山东省 ... 经纬度为（36.668683, 117.2020305），超然台的经纬度则为（35.998284, 119.410762）。

两地经度相差 2.390457 度，因经度相差 15 度大约相差一小时，所以我们可以推算出，苏轼较苏辙的时间大约早了 9 分 34 秒钟（此处忽略现代时区的计算，以经度计算当地时间）。

如果要看到同一晚的「中秋节月亮」，相约的时候就不能不考虑到两地的时差。

由于目前世界大部分的国家都使用西洋历，西洋历定义一天的开始从半夜算起，因此一天的组成为「一半夜晚＋一个白天＋半个夜晚」。

如果是犹太历或 ... 历，则以日落为一天的开始，也就是「一个夜晚＋一个白天」。在我们看来是农历 8 月 15 日凌晨零点到六点见到的月亮，在犹太历或 ... 历看来是属于 8 月 14 日的唷！

图二：中秋节赏月时段比较。（作者绘制）

对于犹太历或 ... 历而言，下午 6 点以后到农历 16 日的清晨 6 点以前，才是真正的「中秋节月亮」。

当然，由于 ... 文化或犹太文化并没有中秋节，所以我们还是依照平常使用的西洋历进行分析吧。

在西洋历中，一天的开始是从半夜开始计算，因此中秋当晚的月亮，在农历 8 月 15 日下午 6 点以后到凌晨 0 点以前。

由此可知，如果苏氏两兄弟想要一起赏月，那么苏辙只能在中秋节当天晚上约 11 点 50 分 26 秒以前到户外赏月，否则当苏辙位置的时间超过凌晨 0 点后，苏辙的中秋节就已经过完啦！两人就无法一起看到中秋当晚的月亮。（如图三所示）。

图三：中秋节赏月时段（图中，A 还在农历 8 月 15 日，B 却已经是农历 8 月 16 日）。（作者绘制）

算时间好麻烦啊！站在同一条经线不就好了？

如果两人在同一经线上，就不需要注意时差的问题，仅需要在傍晚六点到半夜 12 点出外赏月即可。

但是，事情真的这么简单吗？不！要考虑纬度！

因为地球自转轴倾斜了大约 23.5 度，加上白道和黄道夹了大约 5 度 (5.145°)，所以实际上在南北纬 71.5～90 度之间是有限制的。注1

月亮轨道周期为 27 天 7 小时 43.1 分，由于白道与黄道夹角为 5 度，所以月亮在天球赤道两侧月运行时间大约各半（如图四所示）。

图四：日、地、月相对位置以及白道与黄道间的关系

当月亮在天球赤道以南 18.5 度的位置时，北纬 71.5～90 度的区域在晚上无法见到月亮。

反过来说，当月亮在天球赤道以北 18.5 度的位置时，南纬 71.5～90 度以内也无法见到月亮。

如果在南北纬 66.5～71.5 度之间遇到永昼，就只能在太阳较微弱的时候见到月亮。注2

在北极点和南极点的位置上更加特别，有半个月可以见到月亮，半个月见不到月亮。只有当白道和黄道交叉的那一刹那（降交点和升交点），南北极的极点可以同时见到月亮注3。

挑战同时赏月的极限距离！

如果不考虑身处在以上这些区域，那么到底两人距离多远可以在中秋共赏同一明月？以时间差来计算，经度相隔 90 度以内都可以一起赏月。

以纬度来说，最大可以相差 161.5 度还能见到同一明月。换算成距离，最长可以相距约 17977 公里可以见到同一明月。在赤道上，则大约可以相隔 10000 公里还能一起赏月。

下次和异地的好友相约中秋一起赏月时，可以注意朋友的位置和自己所在的位置，计算好时间，一起「千里共婵娟」。

备注

幕后花絮

为什么会诞生这篇文章呢？在中秋节那天，笔者与实验室伙伴们开启了一段有趣的对话：

中秋节时……

Z：「大家中秋节快乐！」

Z：「发现苏轼还是很严谨的。千里共婵娟没问题，如果是万里的话，那就一个白天一个晚上了……」

我：「应该是说，如果要共看『同一天』的月亮，『万里』就需要符合时间点。一万公里大约是 4 分之 1 圈地球，所以满月时，一个人是 0：00（头顶），另一人在 18：00 的话，就能看到。不过，两人在同一经线上，就没有这个问题了吧？」

Z：「嗯你这更严谨……另外，同一经线看到的月球纹理角度也可能会旋转。」

Z:「突然又想到张若虚的『人生代代无穷已，江月年年望相似』也很严谨，月亮正在远离地球，而且黄白交角也在不断进动，所以月亮只是相似，不是相同。而李白说『古人今人若流水，共看明月皆如此』就不严谨了。所以《春江花月夜》孤篇压全唐是有道理的。」

我：「然后，李白去捞月……」

Z：「所以，没文化害死人。」

隔年中秋节……

我：「我还记得Z去年问的千里共婵娟的问题。如果再深入思考的话，会发现我当时的考虑，还是不严谨，比如：古今度量衡单位的区别？凌晨与半夜看到的月亮是否为同一天的月亮？月球白道与黄道夹 5 度是否考量？如果要好好深入考虑以上各点，那就要结合历史、地理、天文等材料，才能解释这个有趣的问题。」

Z：「这是个很好的故事呢！」

然后，这篇文章就诞生啦！

看完这篇文章的读者们，也可以来脑力激荡一下！究竟Z的说法合不合理呢？

宋代的一万里约等于现代 5760 公里，如果苏轼指的是实际距离，则苏轼与苏辙在特定条件下，还是可以一起赏月。

如果当初苏轼写的是「万里共婵娟」，在词牌格律上没有问题（「水调歌头」中，「千」的位置可仄可平），在科学上，除了并非实际指两人相距的距离之外，苏轼还是「很严谨的」。所以Z的说法不完全错误。

「人生代代无穷已，江月年年望相似」，为什么是相似，而非「相同」呢？

地球和月球轨道并非恒定，对一位虚构的在质心上的观测者而言，月球每天的平均角位移量是向东 13.176358°，轨道的指向在空间中会发生进动现象。

其中一种是拱点线的进动：椭圆形的月球轨道慢慢的反时针方向转动，其周期为 8.850 年（3233 天）。

另一种运动是白道与黄道的交点对时间的进动，完整的环绕一圈是 18.6 年（6793 天）（见上方图四），也因此月球周期可以用不同定义方式来说明（见下方表二）。

表二：月的长度比较

名称 天数 定义 恒星月 27.321661 相对于遥远的恒星（每年 13.369 个恒星月） 朔望月 29.530589 相对于太阳（月球的相位，每年 12.369 朔望月） 分至月 27.321582 相对于春分点（进动周期 26,000 儒略年） 近点月 27.554550 相对于近地点（进动周期 3232.6 天 = 8.8504 儒略年） 交点月 27.212221 相对于升交点（进动周期 6793.5 天 = 18.5996 儒略年）

关于行星的岁差与轨道进动的现象可以参考以下影片：

参考资料